PENDAHULUAN
Dalam suatu
pendidikan , matematika pasti menjadi bagian penting dalam proses belajar
setiap murid atau bahkan setiap orang yang hidup membutuhkan ilmu matematika.
Karena dalam kita hidup didunia ini pasti membutuhkan matematika, contoh:
setiap kita belanja pasti membutuhkan uang untuk membayar apa yang telah kita
beli kepada penjual, dan untuk membayar kita membutuhkan pengetahuan matematika
untuk bisa menghitung berapak uang yang akan kita keluarkan dan berapa
kembaliaan uang kita setelah membayar.
Jika kita tidak
mempunyai kemampuan dasar matematika, seperti menghitung baik itu penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian, maka kita akan kesulitan sendiri dalam
bertransaksi, bahkan kita akan sering ditipu karena kita tidak tahu pasti
berapa uang yang harus dikeluarkan sebenarnya. Maka
dari itu belajar ilmu matematika itu sangat penting untuk kehidupan kita.
dari itu belajar ilmu matematika itu sangat penting untuk kehidupan kita.
Oleh karena itu,
matematika pasti ada disetiap jenjang pendidikan, untuk bekal anak didik dan
untuk pengetahuan anak didik. Dalam makalah ini akan membahas materi matematika
yaitu: bilangan berpangkat, bentuk akar, FPB dan KPK, hitung estimasi dan
hitung uang.
B.
Rumusan Masalah
1.
Bagaimana bilangan
berpangkat dan bentuk akar?
2.
Bagaimana FPB dan KPK?
3.
Bagaimana Hitung
estimasi dan hitung uang?
PEMBAHASAN
A.
Bilangan Berpangkat dan Bentuk
Akar
1.
Bilangan berpangkat
Bilangan
berpangkat adalah suatu bilangan yang memiliki pangkat apakah pangkat dua,
pangkat tiga, pangkat empat, pangkat lima, dan seterusnya. Pangkat pada suatu
bilangan ditulis dengan angka ukuran kecil dan diletakkan lebih tinggi dari
posisi bilangan tersebut.
Misalnya
: 2
x 2 x 2 5
x 5 x 5
3
x 3 x 3 4
x 4 x 4
Dan
seterusnya.
Contoh :
2
x 2 dapat ditulis 2², dibaca “ dua
pangkat dua”
3
x 3 dapat ditulis 3², dibaca “ tiga pangkat dua”
4
x 4 x4 dapat ditulis 4³, dibaca “ empat pangkat tiga”
5
x 5 x 5 dapat ditulis 5³, dibaca “ lima pangkat tiga”
Pangkat
dua juga dapat dibaca “ kuadrat”. Bilangan yang diperoleh dari hasil pangkat
dua atau kuadrat disebut bilangan kuadrat. Dan bilangan yang diperoleh dari
hasil pangkat tiga disebut bilangan kubik.
2. Bentuk akar
Untuk bisa
menyelesaikan pertanyaan, bila kita ditanya, bilangan berapakah yang kuadratnya
bernilai sekian ? missal, bilangan itu
angka 9. Maka pertanyaan itu dapat dijawab dengan penarikan akar dari suatu
bialngan.
a.
Penarikan
Akar Pangkat Dua dari Bilangan Kuadrat
Sebelum
mengetahui penarikan akar pangkat dua dari suatu bilangan. Kita mengenal dahulu
arti Akar Pangkat Dua dari Suatu Bilangan. Akar pangkat dua suatu bilangan adalah bilangan yang jika di pangkatkan
dua (dikuadratkan) hasilnya sama dengan bilangan yang dicari akarnya. Akar
pangkat dua (akar kuadrat) dilambangkan dengan tanda 
Contoh :
1. √4 = 2, karena 22 = 2 x 2 = 4
2.
√9 = 3, karena 32 = 3 x 3 = 9
3.
√25 = 5, karena 5² = 5 x 5 = 25
Ingat : √4 dibaca akar pangkat dua dari 4, atau akar kuadrat dari 4
atau akar dari 4.
b.
Mencari
Hasil Penarikan Akar Pangkat Dua dari Bilangan Kuadrat
Misalkan kita akan
mencari dari √3.136
Langkah-langkahnya
adalah sebagai berikut :
1)
Pisahkan dua bilangan disbelah kanan dengan memberi titik.
Contoh : √31.36
2)
Lihat angka paling kiri yaitu 31.
Carilah bilangan yang kuadratnya mendekati 31. Bilangan yang memenuhi
adalah 5, bilangan 5 ini sebagai hasil pertama.
3)
5² = 25 ditulis dibawah 31 kemudian dikurangkan, yaitu 31 – 25 = 6. Angka
36 diturunkan, letaknya disebelah angka 6 menjadi 636.
4)
5 ditambah dengan 5, hasilnya menjadi bilangan penentu
untuk mendapatkan hasil berikutnya . bilangan 10 diletakkan di sebelah kiri
angka 636
5)
10 . . . . x . . . . = 636. Titik-titik diisi
dengan bilangan yang sama, sehingga apabila dikalikan menghasilkan
636. Bilangan yang tepat adalah 6, karena 106 X 6
= 636. Jika hasil pengurangannya belum nol maka dilakukan penurunan
bilangan berikutbya seperti pada langkah 3 dan 4.
6)
Lakukan langkah-langkah tersebut samapi memperoleh hasil pengurangan
akhir = 0, berarti sudah memperoleh akar kuadrat.
B.
KPK dan FPB
1.
FPB
Sebelum kita lebih jauh mempelajari tentang FPB (faktor persekutuan
terbesar), alangkah baiknya kita mengenal faktor dari suatu bilangan. Misal,
bilangan 20 berasal dari: 1x20; 2x10; dan 4x5. Dapat dilihat bahwa faktor dari
20 adalah 1,2,4,5,10,dan 20 atau juga dibuat tabel sebagai berikut.
20
|
|
1
|
20
|
2
|
10
|
4
|
5
|
Mencari faktor
persekutuan dari dua bilangan dua angka. Persekutuan dapat diartikan bersekutu
atau sama. Faktor persekutuan dua bilangan adalah faktor-faktor dari kedua
bilangan yang sama.
Contoh, faktor
dari 36 adalah 1,2,3,4,6,9,12,18, dan 36. Faktor dari 54 adalah
1,2,3,6,9,18,27, dan 54. Jadi persekutuan dari 36 dan 54 adalah 1,2,3,6,9, dan
18.
Untuk
menentukan FPB dua bilangan, ikutilah langkah-langkah berikut:
1.
Tentukan dulu faktor persekutuan dua bilangan.
2.
Carilah bilangan terbesar dari faktor persekutuan tersebut.
Contoh, tentukan FPB dari 63 dan
72
Faktor dari 63 adalah
1,3,7,9,21,63
Faktor dari 72 adalah 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72
Faktor persekutuan : 1,3,9
Perhatikan
faktor yang ditebalkan, yaitu faktor 9. Pada kedua bilangan, ditemukan faktor
yang sama dan terbesar, yaitu 9. Dengan demikian, diperoleh faktor persekutuan
terbesar (FPB) dari 63 dan 72, yaitu 9
2.
KPK
Sebelum lebih jauh mempelajari KPK dua bilangan, sebaiknya kita mempelajari
kelipatan suatu bilangan terlebih dahulu. Kelipatan suatu bilangan adalah hasil
kali bilangan itu dengan bilangan lain.
Contoh, tuliskan bilangan-bilangan kelipatan 3.
Bilangan-bilangan kelipatan 3 dapat dicari dengan cara berikut:
3x1=3; 3x2=6; 3x3=9; 3x4=12, dan
seterusnya .
Jadi, kelipatan 3 adalah 3,6,9,12,...
Sekarang kita aka menggunakan dua bilangan berbeda. Misalnya, 2 dan
6. Terlebih dahulu kita cari
kelipatan masing-masing bilangan.
Bilangan kelipatan 2 adalah 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,....
Bilangan kelipatan 6 adalah 6,12,18,24,30,36,42,.....
Demikian, dapat diketentukan kelipatan persekutuan dari 2 dan 6
yaitu 6,12,18,24,...
Sekarang kita gunakan
materi itu untuk memepelajari kelipatan persekutuan terkecil (KPK)
Contoh, tentukan KPK dari 2 dan 6
Bilangan kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,
24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42,....
Bilangan kelipatan 6 adalah 6,12,18,24,30,36,42,...
Kelipatan persekutuan dari 2 dan 6 adalah 6,12,18,24,...
KPK dari 2 dan 6 adalah 6
3.
Menentukan FPB dan KPK dengan Faktorisasi Prima
a.
Faktor Prima
Faktor Prima adalah faktor dari suatu bilangan yang berupa bilangan
prima.
Contoh, faktor bilangan 36 dan 40.
36 = 1 x 36 ; 36 = 2 x 18 ; 36 = 3 x 12 ; 36 = 4 x 9 ; 36 = 6 x 6.
Jadi faktor-faktor dari 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
40 = 1 x 40 ; 40 = 2 x 20 ; 40 = 4 x 10 ; 40 = 5 x 8. Jadi faktor
dari 40 adalah 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Oleh karena itu dapat disimpulkan sebagai berikut:
Faktor dari 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Jadi, faktor
prima dari 36 adalah 2 dan 3.
Faktor dari 40 adalah 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. Jadi, faktor prima
dari 40 adalah 2 dan 5.
b.
Faktorisasi Prima
Istilah faktor prima tidak sama dengan faktorisasi prima. Mencari
faktorisasi prima dari suatu bilangan, dapat dilakukan dengan pohon faktor.
Dengan melihat
pohon faktor diatas, dapat dituliskan bahwa
40 = 2 x 2 x 2
x 5
= 23
x 5
23 x 5merupakan faktorisasi prima dari 36.
Setelah kita
memahami faktorisasi prima, sekarang kita lanjut membahas FPB dan KPK dengan
faktorisasi prima.
·
Menentukan FPB dengan faktorisasi prima
Untuk menentukan FPB dari dua bilangan adalah sebagai berikut:
1)
Tentukan faktorisasi prima dari kedua bilangan tersebut.
2)
Kalikan faktor-faktor prima yang sama dari kedua bilangan itu. Jika
faktor bilangan yang sama itu pangkatnya berbeda, ambil pangkat terkecil.
Contoh,
tentukan FPB dari 12 dan 16.
12 = 2 x 2 x 3
= 22 x 3 16
= 2 x 2 x 2 x 2 = 24
Dari
faktorisasi kedua bilangan itu, diperoleh faktor prima yang sama adalah 2.
Pangkat terkecil faktor yang sama adalah 2. Jadi FPB dari 12 dan 16 adalah
22 =
4.
·
Menentukan KPK dengan faktorisasi prima
Untuk menentukan KPK dari dua bilangan adalah sebagai berikut:
1.
Tentukan faktorisasi prima dari kedua bilangan tersebut.
2.
Kalikan semua faktor prima dari kedua bilangan itu. Jika ada faktor
yang sama dengan pangkat berbeda, ambil faktor prima dengan pangkat terbesar.
Contoh, tentukan
KPK dari 12 dan 16
12 = 2 x 2 x 3
= 22 x 3 16
= 2 x 2 x 2 x 2 = 24
Dari
faktorisasi kedua bilangan itu, diperoleh faktor prima yang sama adalah 2.
Pangkat terbesar faktor yang sama adalah 4. Jadi KPK dari 12 dan 16 adalah 24
x 3 = 16 x 3 = 48.
C.
Hitung Estimasi dan Hitung Uang
1.
Hitung Estimasi
Pembulatan dan Penaksiran ( Hitung Estimasi )
1.
Pembulatan Bilangan
Bagaimana
aturan pembulatan bilangan ? Mari kita
perhatikan contoh-contoh pembulatan bilangan di bawah ini.
a.
1,8 lebih dekat ke
bilangan satuan 2, maka 1,8 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 2
3,4 lebih dekat di
bulatkan ke satuan 3, maka 3,4 dibulatkan
ke satuan terdekat menjadi 3
Contoh di atas merupakan pembulatan bilangan pada satuan terdekat.
b.
52 lebih dekat ke
bilangan puluhan 50, maka 52 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 50
169 lebih dekat ke puluhan 170, maka 169 dibulatkan ke puluhan terdekat
menjadi 170
Contoh di atas merupakan pembulatan bilangan pada puluhan terdekat.
c.
175 lebih dekat ke
bilangan ratusan 200, maka 175 dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi
200
425 lebih dekat ke bilangan ratusan 400, maka 425 dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi
400
Contoh
di atas merupakan pembulatan bilangan pada ratusan
terdekat.
Apa yang dapat kamu simpulkan dari contoh-contoh pembulatan di
atas? Mari kita tuliskan.
a) Pembulatan Bilangan ke Satuan Terdekat
1)
Kita perhatikan angka pada persepuluhan (di belakang koma).
2)
Jika angka tersebut kurang dari 5 (1, 2, 3, 4), maka bilangan
dibulatkan ke bawah (dihilangkan).
Contoh : 2 ,
3
Angka tiga dibelakang koma kurang dari lima maka dibulatkan ke
bawah, jadi, 2,3 dibulatkan menjadi 2
3)
Jika angka tersebut paling sedikit 5 (5,6,7,8,9), maka bilangan
dibulatkan ke atas (satuan ditambah 1)
Contoh : 5 ,
7
angka 7 dibelakang koma lebih dari 5 maka dibulatkan ke atas, jadi,
5,7 dibulatkan menjadi 6
b) Pembulatan ke Puluhan Terdekat
1)
Kita perhatikan angka pada satuan.
2)
Jika angka tersebut kurang dari 5 (1, 2, 3, 4), maka bilangan
dibulatkan ke bawah (dihilangkan).
Contoh :14. Angka 4 kurang dari 5 maka dibulatkan kebawah menjadi 10
3)
Jika angka tersebut paling
sedikit 5 (5, 6, 7, 8, 9), maka bilangan dibultkan ke atas (puluhan ditambah
1).
Contoh : 76. Angka
6 lebih dari 5 maka dibulatkan ke atas menjadi 80.
2.
Menaksir Hasil Operasi Hitung Dua Bilangan
Menaksir
operasi hitung adalah memperkirakan hasil operasi hitung.
Contoh :
taksiran hasil operasi hitung 1.650 + 73.150
Jawab : 1.650 dibulatkan menjadi
2.000
73.150 dibulatkan menjadi
73.000
Jadi, taksiran
1.650 +
73.150 adalah 2.000 + 73.000 = 75.000
Ada tiga macam cara menaksir hasil operasi hitung, yaitu taksiran
atas, taksiran bawah, dan taksiran terbaik.
a.
Taksiran Atas
Taksiran
atas dilakukan dengan membulatkan ke atas bilangan-bilangan dalam operasi
hitung.
Contoh:
tentukan hasil dari operasi hitung 22 x 58.
Jawab
: karena taksiran atas, maka setiap
bilangan dibulatkan ke atas.
22 dibulatkan ke atas menjadi
30
58 dibulatkan ke atas menjadi
60
Jadi, taksiran 22 x 58
adalah 30 x 60 = 1.800
b.
Taksiran Bawah
Taksiran
bawah dilakukan dengan mebulatkan ke bawah bilangan-bilangan dalam operasi
hitung.
Contoh: tentukan hasil dari
operasi hitung 22 x 58.
Jawab
: karena taksiran bawah, maka setiap
bilangan dibulatkan ke bawah.
22 dibulatkan ke bawah menjadi
20
58 dibulatkan ke bawah menjadi
50
Jadi, taksiran 22 x 58
adalah 20 x 50 = 1.000
c.
Taksiran Terbaik
Taksiran
terbaik dilakukan dengan membulatkan bilangan-bilangan dalam operasi hitung
menurut aturan pembulatan.
Contoh:
tentukan hasil dari operasi hitung 22 x 58.
Jawab
: 22 menurut aturan pembulatan
dibulatkan menjadi 20
58 menurut aturan pembulatan
dibulatkan menjadi 60
Jadi, taksiran 22 x 58
adalah 20 x 60 = 1.200
2. Mengenal Berbagai Nilai Mata Uang Rupiah
a.
Nilai mata uang rupiah.
Mata uang rupiah yang beredar, tersedia dalam bentuk logam (koin)
dan ada yang tersedia dalam bentuk kertas. Perhatikan dan amati bentuk mata
uang kertasa berikut:
Nilai uang seribu (1.000) rupiah
Nilai uang dua ribu (2.000) rupiah
Nilai uang lima ribu (5.000) rupiah
Nilai
uang sepuluh ribu (10.000) rupiah
Nilai uang dua puluh ribu (20.000) rupiah
Nilai uang lima puluh ribu (50.000) rupiah
Nilai uang seratus ribu (100.000) rupiah
Sekarang perhatikan uang bentuk koin:
b.
Menghitung kumpulan uang
Kamu telah mengingat bentuk mata uang yang beredar dalam bentuk
kertas dan logam. Sekarang misalnya kamu membeli buku. Harga sebuah buku Rp
1.200,00. Bagaimana cara kamu membayarnya? Kamu tahu, tidak tersedia uang
bentuk pecahan yang bernilai Rp 1.200,00.
PENUTUP
Kesimpulan
1)
Bilangan berpangkat adalah suatu bilangan yang memiliki pangkat
apakah pangkat dua, pangkat tiga, pangkat empat, pangkat lima, dan seterusnya.
Pangkat pada suatu bilangan ditulis dengan angka ukuran kecil dan diletakkan
lebih tinggi dari posisi bilangan tersebut. Contoh : 2 x
2 dapat ditulis 2², dibaca “ dua pangkat
dua”
2)
Bentuk akar adalah bilangan
yang jika di pangkatkan dua (dikuadratkan) atau pangkat tiga hasilnya sama
dengan bilangan yang dicari akarnya.
3)
FPB adalah Faktor Persekutuan Terbesar. Untuk menentukan FPB dua bilangan, ikutilah langkah-langkah berikut:
1.
Tentukan dulu faktor persekutuan dua bilangan.
2.
Carilah bilangan terbesar dari faktor persekutuan tersebut.
KPK adalah
Kelipatan Persekutuan Terkecil. Kelipatan
suatu bilangan adalah hasil kali bilangan itu dengan bilangan lain.
Untuk menentukan FPB dari dua bilangan adalah sebagai berikut:
1.
Tentukan faktorisasi prima dari kedua bilangan tersebut.
2.
Kalikan faktor-faktor prima yang sama dari kedua bilangan itu. Jika
faktor bilangan yang sama itu pangkatnya berbeda, ambil pangkat terkecil.
Untuk menentukan KPK dari dua bilangan adalah sebagai berikut:
1.
Tentukan faktorisasi prima dari kedua bilangan tersebut.
2.
Kalikan semua faktor prima dari kedua bilangan itu. Jika ada faktor
yang sama dengan pangkat berbeda, ambil faktor prima dengan pangkat terbesar.
4) Hitung Estimasi adalah pembulatan dan
penaksiran.
Ada tiga macam cara menaksir hasil operasi hitung, yaitu taksiran
atas, taksiran bawah, dan taksiran terbaik.
DAFTAR PUSTAKA
Supardjo. Matematika Gemar Berhitung Kelas 3 SD/MI.
Solo: PT. Tiga Serangkai Pustaka Mandiri. 2004
Yastuti, Indri. Matematika Kelas 4 SD/MI. :
Global.2012
Yastuti, Indri. Matematika Kelas 5 SD/MI.
:Global. 2012
No comments:
Post a Comment